Todo aficionado a la ciencia, en especial a la física, matemática o comunicaciones, ha oído hablar alguna vez de las archiconocidas ecuaciones de Maxwell. Pero salvo los científicos o ingenieros, muy poca gente entiende realmente su significado, o “de donde salen”, o incluso porque son “de Maxwell”. En este articulo vamos a intentar (y ojalá conseguir) acercarnos un poco mas a estas ecuaciones, piedra angular de muchas disciplinas; vamos a ver reflejado en ellas el proceder de la historia científica: el trabajo de unos científicos es punto de partida de los que vendrán después; y, por supuesto, intentaremos entender un poco mejor su significado, incluso en su habitual formulación matemática, aun a sabiendas de que ese entendimiento adolecerá de imprecisión y no nos permitirá admirarlas en todo su esplendor, por la lógica formación matemática y física que ello requiere; pero esto ultimo no debe causarnos reparos, será un primer paso para estimular a aquellos que quieran entenderlas en detalle.

¿Qué son?

Todos hemos hecho alguna vez el experimento de mover un imán en el interior de una espira de cable (y si el lector no lo ha hecho, le invito a hacerlo el mismo; cuantas más vueltas tenga la espira mejor). Al hacerlo y conectar una bombilla, por ejemplo, a las puntas de la espira veremos que se enciende; la intensidad con que luce la bombilla será tanto mayor cuanto más rápido se mueve el imán y cuanto mayor es el área de la espira. A esta ley, descubierta por Faraday y Henry casi simultáneamente en 1830, se la denomina ley de Faraday (o de Faraday-Henry), o ley de inducción magnética.

Pues bien, esta ley es una de las leyes fundamentales de electromagnetismo, es decir, no se puede deducir de ninguna otra ley conocida y tiene validez universal (hablando con rigor seria mejor decir que postulamos su validez universal, porque no se han observado fenómenos que no la cumplan)

Hemos nombrado ya en el párrafo anterior una disciplina de la física: el electromagnetismo. Aunque supone el autor de este texto que todo el mundo tiene un conocimiento mas o menos exacto de lo que es el electromagnetismo, no sobra decir que es la parte de la física que estudia un tipo de fuerza de la naturaleza, que actúa a distancia, la electromagnética, y con la que todos hemos tenido alguna experiencia (sobretodo desagradable al salir del coche y darnos chispazo)

Y en este punto el lector preguntará, ¿y que tiene esto que ver con las ecs. de Maxwell? La respuesta es simple: al igual que hemos comentado ya una ley fundamental de la naturaleza (la de Faraday-Henry o inducción magnética), existen otras leyes (en sentido estricto solo una más) que se pueden describir matemáticamente, como enseguida veremos. A estas tales ecuaciones, a las que describen estas leyes de la naturaleza utilizando el lenguaje matemático, se las llama ecuaciones de Maxwell.

Un poco de matemáticas

La “aparente” complejidad que al lego le puede parecer que emanan las ecuaciones de Maxwell, nace mas del simbolismo usado y del desconocimiento de las matemáticas adecuadas, que del verdadero significado puramente físico que estas tienen. Una vez entendido que esos esotéricos símbolos son simplemente una manera de escribir, y que las misteriosas definiciones e indescifrables ecuaciones son algo que nace de manera natural a lo largo de la historia, todo parece incluso intuitivo y lógico; pero todo ello, claro esta, siempre que pongamos empeño en enseñar ese lado intuitivo. Una vez acostumbrada la intuición, el formalismo matemático y el rigor vienen como un esfuerzo más. Así pues, intentare desarrollar las ideas de manera intuitiva, y de forma que nada parezca que se invento “así porque si”, viendo como todo surge de manera natural. Seguro que cualquier persona no habituada a las matemáticas, podrá seguir todos los pasos. También debe decirse que todo lo que a continuación se expondrá, carecerá del más mínimo rigor matemático, pero como hemos dicho, eso es solo un paso más. Vamos entonces a armarnos de las matemáticas necesarias.

.-Vector: un vector es cualquier cantidad que para ser enteramente conocida, se necesita conocer tanto su magnitud como su dirección.

Por ejemplo, si decimos que vamos a 100 km/h en un coche, nos falta saber hacia qué dirección vamos (norte, sureste, ...); es decir, al decir lo anterior solo damos la magnitud del vector velocidad. Para conocer el vector velocidad “del todo” deberíamos decir “vamos a 100 km/h hacia el sur” De la misma manera, las fuerzas electromagnéticas, como todas las fuerzas, tienen magnitud (la intensidad de la fuerza) y dirección (hacia donde movería esa fuerza un objeto).

Multiplicar un vector por un número, es obtener un vector con la misma dirección y sentido, pero con su magnitud multiplicada por el numero. Es decir, en el ejemplo que manejamos, multiplicar la velocidad por 2, es movernos a 200 km/h (100 x 2) y con la misma dirección (sur)

De ahora en adelante representaremos los vectores en negrita o con una flecha encima de la letra.

.- Componentes de un vector Todos sabemos que si dos personas tiran de un objeto, pero cada una en direcciones distintas, el objeto se moverá en una dirección intermedia. Es decir, se moverá como si actuase otra fuerza con una magnitud distinta en esa dirección intermedia. A esa fuerza se la llama fuerza resultante, y a las otras dos se las llama componentes. Si ahora pensamos al revés, podemos descomponer cualquier fuerza como el resultado de otras dos fuerzas (componentes), que juntas tengan el mismo efecto que la primera, y la forma de descomponerla no es única. Generalmente interesa que esas dos fuerzas sean perpendiculares entre si; al hacerlo así las componentes se llaman ortogonales.

Así pues, dado cualquier vector v podemos descomponerlo en otros dos vectores, llamados componentes ortogonales, que son perpendiculares entre si, y que juntos producen el mismo “efecto” que el vector original. Muchas veces nos interesara descomponer un vector de manera que una de las componentes sea paralela a cualquier otra referencia L (L puede ser otro vector, un plano, etc.), y obviamente, la otra componente será perpendicular a L. Naturalmente en este último caso, la manera de descomponerlo es única.

De ahora en adelante diremos solo “componentes de un vector”, sobrentendiendo que son ortogonales (perpendiculares entre si).

.- Flujo de un vector: Sea v un vector conocido en cada punto de una superficie (imaginaria o no) tan pequeña (de área muy pequeña igual a dS), que podemos considerar que el vector es constante en los puntos de esa superficie. Naturalmente, el vector puede no ser perpendicular a dicha superficie Si ahora multiplicamos el área dS por la componente de v perpendicular a la superficie, lo que se representa poniendo v·dS (es decir, esta expresión significa multiplicar el área dS por la componente de v perpendicular a la superficie) obtenemos lo que se llama el flujo del vector v sobre la superficie infinitesimal (por ser muy pequeña) dS.

Consideremos, por ejemplo, el vector v =“velocidad de agua en una tubería (en m/s)”.Entonces, el flujo (en m3/s) que sale por cualquier superficie pequeña de área dS, imaginaria, de la boca del tubo, es v·dS.

Ahora que sabemos calcular el flujo a través de una superficie muy pequeñita, vamos a ver como lo calculamos sobre una superficie cualquiera. La idea es la misma, es decir, queremos saber “cuanto entra o cuanto sale”. El problema ahora es, que como la superficie no tiene porque ser muy pequeña, entonces nuestro vector en cada punto de la superficie puede ser distinto, de la misma forma que la velocidad del agua de nuestro tubo no tiene porque ser la misma en todos los puntos. Así que no tiene sentido coger el área de toda la superficie y multiplicarla por..... ¿por la componente perpendicular del vector? No tiene sentido, porque en cada punto es una distinta. La solución entonces será dividir nuestra “gran” superficie en superficies pequeñitas, calcular el flujo sobre cada una de ellas, y sumar. Esto es lógico, lo que estamos diciendo es que el agua total que sale por la boca de nuestro tubo es la suma de las que salen al dividir dicha boca en pequeñas “boquillas” y sumarlas todas.

- Divergencia de un vector: Siguiendo con nuestro ejemplo del agua, si dentro del tubo no hay nada que produzca agua (una fuente de agua) o se la trague (un sumidero), entonces todo el agua que entra debe salir, y si no, por un sitio entrara más que lo que sale o al contrario. ¿Cómo expresamos todo esto en lenguaje matemático?

Consideremos un pequeño volumen encerrado por un cubo imaginario dentro de nuestro tubo de agua. El cubo es de aristas dx, dy dz, por tanto el volumen de este cubo será dx·dy·dz. No esta de mas en insistir que al ser muy pequeño, las paredes también serán muy pequeñas. Nuestro vector (la velocidad del agua), no tiene porque ser el mismo en todas las paredes (ni en magnitud ni en dirección), y además, en el caso general, puede ir en cualquier dirección y de cualquier forma, como si fuese aleatorio, por lo que lo representaremos como v(x,y,z), que quiere decir que el vector depende del punto (x, y, z) que consideremos.

Conclusiones

Ya tenemos formuladas todas las leyes de Maxwell. Como las hemos ido deduciendo de forma dispersa a lo largo del texto, las resumiré aquí de forma compacta.

Ley de Faraday-Henry
Ley de Ampere-Maxwell
Ley de Gauss del campo magnético
Ley de Gauss del campo eléctrico

Pero aun sigue en pie una pregunta: ¿por qué se las llama ecuaciones de Maxwell? Porque fue James Clark Maxwell quien, además de formular la ley de Ampere-Maxwell, se dio cuenta de que constituían la estructura básica de la teoría de interacciones electromagnéticas. A partir de estas ecuaciones se puede explicar y predecir cualquier fenómeno electromagnético, y son utilizadas por ingenieros y científicos para producir y controlar fenómenos de este tipo.